11. Замена переменной в определённом интеграле.

1. $f(x)$ определён на $[a; b]$

2. $x = ϕ(t)$дифференцируема на $[α; β]$ и $ϕ '(t)$ непрерывна на $[α; β]$

3. Множество значений функции $x = ϕ(t)$ является $[a; b]$

4. $ϕ(α) = a$, $ϕ(β) = b$

Тогда справедлива формула

Доказательство

Пусть $F(x)$ - какая либо первообразная для $f(x)$ на $[a;b]$, $F'(x) = f(x)$

$(F(ϕ(t)))' = f(ϕ(t))ϕ'(t)$, следовательно $F(ϕ(t))$ - первообразная для $f(ϕ(t))ϕ'(t)$