27. Достаточные условия экстремума.

Точка $M_0(x_0;y_0)$ для которой выполняется $f'_x (x_0 , y_0 ) = f'_y (x_0 , y_0 ) = 0$ называется точкой возможного экстремума (стационарной точкой).

Теорема (достаточное условие экстремума)

В точке $M_0(x_0;y_0)$ возможного экстремума и некоторой ее окрестности функция $z = f(x, y)$ имеет непрерывную частную производную II-го порядка.

Тогда:

1. Если $Δ > 0$, то в точке $M_0$ функция имеет экстремум

   1. тогда это локальный максимум
   2. тогда это локальный минимум
2. Если $Δ < 0$, то в точке $M_0$ экстремума нет

3. $Δ = 0$ то требуется дополнительное исследование

Дополнительное исследование

Находим значение второй производной исходной функции в исследуемой точке $M_0(x_0;y_0)$ и смотрим на выпуклость получаемого графика.