3. Непосредственное интегрирование, метод интегрирования по частям.

Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование - метод, при котором интеграл, путем тождественных преобразований (подведение под знак дифференциала, замена переменной) подынтегральной функции и применения свойств интеграла, приводится к одному или нескольким интегралам элементарных функций.

Подведение под знак дифференциала

$df(x) = f '(x)dx$

Интегрирование: $∫g(x)dx = ∫f(u(x))u'(x)dx = ∫f(u(x))du(x) = F(u(x)) + C$

Метод замены переменной

Если $f(t)dt = F(t) + C$ на $(a; b)$и $t(x)$ - дифференцируемая функция на $(α; β)$, множество значений которой $∈ (a, b)$, то:

$∫ f(t(x))t '(x)dx = F(t(x)) + C$

$∫ f(t(x))d(t(x)) = F(t(x)) + C$

Метод интегрирования по частям

Пусть функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы на $(a; b)$. Если существует $∫ v(x)u '(x)dx$ на $(a; b)$, то сущестствует и $∫ u(x)v'(x)dx = u(x) ⋅ v(x) − ∫ v(x)u '(x)dx$

$∫ udv = uv − ∫ vdu$

в качестве u лучше выбирать логарифмы и обратно тригонометрические функции, а для dv тригонометрические и е