9. Интеграл с переменным верхним пределом.

Определение

Если функция $f(x)$ интегрируема на отрезке $[a;b]$, то существует определенный интеграл от этой функции по любому отрезку $[a;x]⊂[a;b]$. Такой интеграл называют определённым интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема

Производная интеграла непрерывной функции по переменному верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции в точке верхнего предела.

Доказательство

Возьмем любую точку $x ∈[a;b]$ и придадим ей приращение $∆x$ так, чтобы $x+∆x ∈[a;b]$. Тогда .

Используя аддитивность определенного интеграла, имеем.

Применяя теорему о среднем, получаем , где $c ∈ [x;x+∆x]$.

По определению производной, учитывая, что функция непрерывна, получим:.