4. Интегрирование рациональных функций.

Дробно-рациональными называют функции вида $f(x) = P(x)/Q(x)$

Интегрирование любой дробно-рациональной функции состоит из следующих этапов:

1. Выделение из нее целой рациональной функции - многочлена и правильной рациональной дроби. #shag-1.

2. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие. #shag-2.

3. Нахождение неопределенных интегралов от многочлена и полученных простейших дробей. #shag-3.

Шаг 1.

Пусть степень многочлена $P(x)$(числителя дроби) равна $m$, а степень многочлена $Q(x)$(знаменателя дроби) равна $n$.

При $n = 0$ функция является многочленом степени $m$.

Если $n>m ≥ 0$, то рациональную дробь называют правильной, в противном случае - неправильной. Неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена и некоторой правильной дроби.

Шаг 2.

Среди правильных рациональных дробей выделяют следующие типы простейших рациональных дробей:

3 и 4 очень громоздкое интегрирование, мы не писали его на лекции

Разложение правильной рациональной дроби на простейшие

Если рациональная функция $P(x)/Q(x)$ имеет степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, а $Q(x)$ представлен в виде$Q(x) = A(x − α) ^m ⋅ (x − β)^s ⋅ ... ⋅ (x^2 + 2px + q)^t ⋅ (x^2 + 2nx + v)^η ⋅ ...$, где $α, β, p, q, n, v$вещественные числа, то эту функцию можно представить единственным образом в виде

Метод неопределенных коэффициентов

Коэффициенты находятся умножением обеих частей разложения с неизвестными коэффициентами на $Q(x)$. Поскольку равенство между многочленом $P(x)$ и многочленом в правой части в числителе должно быть справедливо для любого $x$, то коэффициенты, стоящие при равных степенях $x$, должны быть равны между собой. Приравнивая коэффициенты, получаем СЛАУ первой степени, из которой найдем неизвестные коэффициенты.

Шаг 3.

Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе: