20. Необходимые, достаточные условия дифференцируемости ФНП.

Необходимые условия дифференцируемости ФНП

Теорема 1

Если $z = f(M)$ дифференцируема, то она непрерывна

Доказательство

По определению функции, дифференцируемой в точке, ее приращение представимо в виде:

Следовательно:

А это значит, что функция непрерывна в точке.

Теорема 2

Если $z = f(M)$ дифференцируема в $M(x0; y0)$, то она имеет в этой точке частные производные ()

Доказательство

Пусть функция $f(x, y)$ дифференцируема в точке $M(x_0; y_0 )$. Тогда ее приращение представимо в виде:

Положив $Δy = 0$, имеем:

Разделив это равенство на $Δx$ и перейдя к пределу при $Δx → 0$, получим:

Следовательно, в точке $M$ существует частная производная .

Достаточные условия дифференцируемости ФНП

Теорема

Если $z = f(M)$ имеет частные производные в некоторой $δ$-окрестности точки $M$ и эти производные непрерывны в $M$, то $f(M)$ дифференцируема в точке $M$.

Доказательство