5. Определение определённого интеграла. Ограниченность интегрируемой функции.

Определение определённого интеграла

Определение определённого интеграла через интегральные суммы

Пусть $f(x)$ определена на $[a; b]$. Разобьем этот отрезок на $n$ равных частей.

Геометрический смысл интегральной суммы - это сумма площадей прямоугольников с основаниями и высотами если функция больше нуля.

$λ$ - длина наибольшего частичного отрезка разбиения.

Если существует конечный предел интегральной суммы при $λ → 0$, то этот предел называется определенным интегралом от функции $f(x)$ на $[a; b]$.

Определение определенного интеграла на языке $ε − δ$

Число $I$ называется определенным интегралом от функции $f(x)$ на $[a; b]$ если $∀ε > 0 ∃δ >0 :$ при $λ < δ$(или $Δxi < δ$) выполняется неравенство:

Ограниченность интегрируемой функции

Теорема (необходимое условие интегрируемости функции)

Если $f(x)$интегрируема на $[a; b]$, то она ограничена на этом отрезке.

Доказательство

Предположим, что $f(x)$ не ограничена на $[a; b]$. Тогда при любом разбиении отрезка она делает сколь угодно большую $σ$ хотя бы на одном участке разбиения. Например, на $[x_0 ; x_1 ]$ $σ$достаточно большая.

Т.е. интегральная сумма $σ$ больше любого заданного числа, т.е. предел суммы при $λ →0$ не определен. Противоречие. Значит, если функция интегрируема, то она ограничена

Следствие из теоремы

Обратное неверно.