26. Определение экстремума функции двух переменных, необходимые условия.

Экстремум функции двух переменных.

Говорят, что $z = f(x, y)$ имеет в точке $M_0$ локальный максимум (минимум) если существует такая окрестность точки $M_0$, в которой для $∀M(x, y)$ выполняется: $f(x, y) ≤ f(x_0 , y _0)$ $(f(x, y) ≥ f(x_0 , y_0 ))$

Точки локального максимума (минимума) называют точками экстремума.

$z = f(x, y)$ в точке $M_0$, удовлетворяет следующим условиям:

1. $Δz ≤ 0$(если это локальный максимум)

2. $Δz ≥ 0$(если это локальный минимум)

Необходимое условие

Если $z = f(x, y)$ имеет в точке $M_0(x_0;y_0)$ экстремум и частную производную I-го порядка, то в этой точке частные производные равны нулю.

Доказательство

Теорема Ферма: пусть функция определена на (a;b) и в некоторой точке х0 этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда если в точке х0 существует f'(x) то она равна нулю.